1. Найти промежутки возрастания и убывания функции: y = 2x³ - 3x² - 12x + 6. 1.Найти D(y) 2. Найти производную 3. Найти критические точки 4. Заполнить таблицу X y' y 5. Ответ: функции V функция ↑

Решение:

1. Область определения функции D(y)

Функция \( y = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 6 \) является многочленом, поэтому её область определения — вся числовая прямая.

D(y) = (-∞; +∞)

2. Производная функции

Найдем производную функции:

\[ y' = (2x^3 - 3x^2 - 12x + 6)' = 6x^2 - 6x - 12 \]

3. Критические точки

Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Производная существует для всех \( x \).

Приравняем производную к нулю:

\[ 6x^2 - 6x - 12 = 0 \]

Разделим на 6:

\[ x^2 - x - 2 = 0 \]

Найдем корни квадратного уравнения:

\[ D = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 \]

\[ x_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1+3}{2} = 2 \]

\[ x_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1-3}{2} = -1 \]

Критические точки: \( x = -1 \) и \( x = 2 \).

4. Заполнение таблицы

Определим знаки производной на интервалах, образованных критическими точками:

• Интервал \( (-\infty, -1) \): Возьмем \( x = -2 \). \( y'(-2) = 6(-2)^2 - 6(-2) - 12 = 6(4) + 12 - 12 = 24 > 0 \). Функция возрастает.
• Интервал \( (-1, 2) \): Возьмем \( x = 0 \). \( y'(0) = 6(0)^2 - 6(0) - 12 = -12 < 0 \). Функция убывает.
• Интервал \( (2, +\infty) \): Возьмем \( x = 3 \). \( y'(3) = 6(3)^2 - 6(3) - 12 = 6(9) - 18 - 12 = 54 - 30 = 24 > 0 \). Функция возрастает.

Вычислим значения функции в критических точках:

\[ y(-1) = 2(-1)^3 - 3(-1)^2 - 12(-1) + 6 = 2(-1) - 3(1) + 12 + 6 = -2 - 3 + 12 + 6 = 13 \]

\[ y(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 - 12(2) + 6 = 2(8) - 3(4) - 24 + 6 = 16 - 12 - 24 + 6 = 4 - 24 + 6 = -14 \]

5. Ответ:

Функция возрастает на интервалах \( (-\infty, -1] \) и \( [2, +\infty) \).

Функция убывает на интервале \( [-1, 2] \).

Ответ: Функция возрастает на \( (-\infty, -1] \) ∪ \( [2, +\infty) \), убывает на \( [-1, 2] \).