1. Одна из сторон треугольника лежит в плоскости α. Докажите, что прямая, проходящая через середины двух других сторон треугольника, параллельна плоскости α.

Пусть сторона AB лежит в плоскости α, а точки M и N — середины сторон AC и BC.

1. В треугольнике ABC отрезок MN соединяет середины двух сторон, поэтому по свойству средней линии MN ∥ AB.
2. Плоскость треугольника ABC пересекает α по прямой AB. Поскольку MN ∥ AB и MN ≠ AB, прямая MN не пересекает α.

Следовательно, MN ∥ α.

Ответ: прямая, проходящая через середины двух других сторон, параллельна α.

Замечание: предполагается, что плоскость треугольника не совпадает с α; иначе прямая MN лежала бы в α.