1. Определение и свойство смежных углов (формулировка). 2. Доказать теорему о сумме углов треугольника. 3. Периметр равнобедренного треугольника 19 см, а основание 7 см. Найти боковую сторону треугольника. 4. Внешний угол при вершине В треугольника АВС равен 102°. Биссектрисы углов А и С треугольника пересекаются в точке О. Найдите величину угла АОС. Дайте ответ в градусах.

Билет 4.

1. Смежные углы – это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие стороны лежат на одной прямой. Свойство смежных углов: Сумма смежных углов равна \( 180^\circ \).
2. Теорема о сумме углов треугольника: Сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \). Доказательство: Проведем через вершину C прямую DE, параллельную стороне AB. Тогда \( \angle ACD = \angle CAB \) (как накрест лежащие при параллельных прямых DE и AB и секущей AC), а \( \angle BCE = \angle ABC \) (как накрест лежащие при параллельных прямых DE и AB и секущей BC). Угол \( \angle DCE \) – развернутый, \( \angle DCE = 180^\circ \). \( \angle DCE = \angle ACD + \angle BCE + \angle ACB \). Подставляя равные углы, получаем: \( \angle CAB + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ \).
3. Дано: Равнобедренный треугольник. Периметр P = 19 см. Основание a = 7 см.
   Найти: Боковую сторону b.
   
   Решение: Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон: \( P = a + 2b \).
   \[ 19 \text{ см} = 7 \text{ см} + 2b \]
   \[ 2b = 19 \text{ см} - 7 \text{ см} \]
   \[ 2b = 12 \text{ см} \]
   \[ b = \frac{12 \text{ см}}{2} = 6 \text{ см} \]Ответ: Боковая сторона треугольника равна 6 см.
4. Дано: Треугольник ABC. Внешний угол при вершине B равен \( 102^\circ \). AO и CO – биссектрисы углов A и C соответственно. AO и CO пересекаются в точке O.
   Найти: \( \angle AOC \).
   
   Решение:
   1. Найдем \( \angle ABC \):
      \[ \angle ABC = 180^\circ - 102^\circ = 78^\circ \]
   2. Найдем сумму углов A и C:
      \[ \angle A + \angle C = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 78^\circ = 102^\circ \]
   3. Так как AO и CO – биссектрисы, то:
      \[ \angle OAC = \frac{1}{2} ° \]
      \[ \angle OCA = \frac{1}{2} ° \]
   4. Сумма углов \( \angle OAC + \angle OCA \) равна:
      \[ \frac{1}{2} ° + \frac{1}{2} ° = \frac{1}{2} (\angle A + \angle C) = \frac{1}{2} (102^\circ) = 51^\circ \]
   5. В треугольнике AOC сумма углов равна \( 180^\circ \). Найдем \( \angle AOC \):
      \[ \angle AOC = 180^\circ - (\angle OAC + \angle OCA) = 180^\circ - 51^\circ = 129^\circ \]
   Ответ: \( \angle AOC = 129^\circ \).