1. Определение отрезка. Обозначение отрезка. Середина отрезка. Построение середины отрезка с помощью циркуля и линейки (без доказательства). 2. Доказать признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними. 3. В треугольнике АВС проведена биссектриса СЕ. Найдите величину угла ВСЕ, если ∠BAC = 46° и ∠ABC = 78°. 4. Сумма вертикальных углов в 3 раза больше смежного с ними угла. Найдите вертикальные углы.

Билет 1.

1. Отрезок – это часть прямой, ограниченная двумя точками. Обозначается двумя большими буквами латинского алфавита, например, AB. Середина отрезка – точка, делящая отрезок на два равных отрезка. Построение середины отрезка: 1. Из концов отрезка проводят дуги окружностей одинакового радиуса. 2. Точки пересечения дуг соединяют прямой. 3. Полученная прямая пересекает отрезок в его середине.
2. Признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними (первый признак): Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
3. Дано: Треугольник ABC, CE – биссектриса. \( \angle BAC = 46^\circ \), \( \angle ABC = 78^\circ \).
   Найти: \( \angle BCE \).
   
   Решение:
   1. Сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \). Найдем \( \angle ACB \):
      \[ \angle ACB = 180^\circ - \angle BAC - \angle ABC = 180^\circ - 46^\circ - 78^\circ = 180^\circ - 124^\circ = 56^\circ \]
   2. Так как CE – биссектриса, она делит \( \angle ACB \) пополам:
      \[ \angle BCE = \frac{\angle ACB}{2} = \frac{56^\circ}{2} = 28^\circ \]
   Ответ: \( \angle BCE = 28^\circ \)
4. Решение:
   1. Пусть один из вертикальных углов равен \( x \). Тогда смежный с ним угол равен \( 180^\circ - x \).
   2. По условию, сумма вертикальных углов ( \( x+x = 2x \) ) в 3 раза больше смежного с ними угла ( \( 180^\circ - x \) ):
      \[ 2x = 3(180^\circ - x) \]
      \[ 2x = 540^\circ - 3x \]
      \[ 5x = 540^\circ \]
      \[ x = \frac{540^\circ}{5} = 108^\circ \]
   3. Вертикальные углы равны \( 108^\circ \). Смежный с ними угол равен \( 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ \).
   Ответ: Вертикальные углы равны \( 108^\circ \), смежные с ними углы равны \( 72^\circ \).