1) Определение серединного перпендикуляра к отрезку. Свойство серединного перпендикуляра.

Решение:

1. Определение серединного перпендикуляра к отрезку:

• Серединный перпендикуляр к отрезку — это прямая, которая проходит через середину этого отрезка и перпендикулярна ему.

2. Свойство серединного перпендикуляра:

• Точка лежит на серединном перпендикуляре к отрезку тогда и только тогда, когда она равноудалена от концов этого отрезка.

Доказательство свойства:

1. Прямое утверждение: Если точка M лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB (то есть M — середина AB и M ⊥ AB), то MA = MB.
• Рассмотрим треугольники AMC и BMC, где C — середина AB.
• AC = BC (по построению C — середина).
• ∠ACM = ∠BCM = 90° (по построению M ⊥ AB).
• CM — общая сторона.
• По двум сторонам и углу между ними (СУС), ΔAMC = ΔBMC.
• Следовательно, MA = MB (как соответствующие стороны равных треугольников).
2. Обратное утверждение: Если точка M равноудалена от концов отрезка AB (MA = MB), то она лежит на серединном перпендикуляре к AB.
• Проведем прямую через M и середину отрезка AB (обозначим ее как C).
• Рассмотрим треугольники AMC и BMC.
• AC = BC (по построению C — середина).
• MA = MB (по условию).
• CM — общая сторона.
• По трем сторонам (ССС), ΔAMC = ΔBMC.
• Следовательно, ∠ACM = ∠BCM.
• Так как ∠ACM + ∠BCM = 180° (развернутый угол), то 2∠ACM = 180°, откуда ∠ACM = 90°.
• Таким образом, прямая CM проходит через середину AB и перпендикулярна AB, то есть является серединным перпендикуляром.