3) К окружности с центром в точке О проведены касательная АВ и секущая АО. Найдите радиус окружности, если АВ=12 см, АО=13 см.

Решение:

По условию \( AB \) — касательная к окружности, а \( AO \) — секущая, проходящая через центр \( O \). Радиус окружности, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, \( OB \) перпендикулярен \( AB \). Это означает, что \( ∠ ABO = 90^\circ \).

Таким образом, \( ΔABO \) является прямоугольным треугольником с гипотенузой \( AO \) (так как она лежит напротив прямого угла \( ∠ ABO \)).

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника \( ΔABO \) имеем:

\[ AO^2 = AB^2 + OB^2 \]

Где \( AO = 13 \) см (секущая), \( AB = 12 \) см (касательная), а \( OB \) — радиус окружности, который нам нужно найти. Обозначим радиус как \( r \), тогда \( OB = r \).

\[ 13^2 = 12^2 + r^2 \] \[ 169 = 144 + r^2 \]

Вычтем 144 из обеих частей уравнения:

\[ r^2 = 169 - 144 \]

\( r^2 = 25 \)

Извлечем квадратный корень:

\[ r = √{25} \]

\( r = 5 \) см.

Ответ: Радиус окружности равен 5 см.