1. Определение внешнего угла треугольника. Сформулировать свойство внешнего угла треугольника. 2. Доказать, что при пересечении двух параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны. 3. Найдите все неизвестные углы треугольника АВС. 4. В треугольнике АВС углы А и С равны 40° и 60° соответственно. Найдите угол между высотой ВН и биссектрисой BD.

Билет 9

1. Внешний угол треугольника — это угол, смежный с одним из углов треугольника.
2. Свойство внешнего угла треугольника: Внешний угол треугольника равен сумме двух других, не смежных с ним, углов.
3. Доказательство: Пусть \( ∠1 \) — внешний угол треугольника, а \( ∠2 \) и \( ∠3 \) — два других внутренних угла. \( ∠1 + ∠4 = 180^\circ \) (смежные углы), где \( ∠4 \) — внутренний угол, смежный с \( ∠1 \). Сумма углов треугольника: \( ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180^\circ \). Отсюда \( ∠4 = 180^\circ - (∠2 + ∠3) \). Подставляя в первое уравнение: \( ∠1 + 180^\circ - (∠2 + ∠3) = 180^\circ \). \( ∠1 = ∠2 + ∠3 \).
4. Доказательство равенства накрест лежащих углов при пересечении параллельных прямых секущей: Пусть даны параллельные прямые \( a \) и \( b \), пересеченные секущей \( c \). Обозначим накрест лежащие углы как \( ∠1 \) и \( ∠2 \). Угол \( ∠1 \) и угол \( ∠3 \) (смежный с \( ∠2 \)) являются соответственными углами при пересечении прямых \( a \) и \( b \) секущей \( c \). Так как \( a ∥ b \), то соответственные углы равны: \( ∠1 = ∠3 \). Углы \( ∠3 \) и \( ∠2 \) — смежные, следовательно, \( ∠3 + ∠2 = 180^\circ \). Так как \( ∠1 = ∠3 \), то \( ∠1 + ∠2 = 180^\circ \). Углы \( ∠1 \) и \( ∠2 \) — односторонние. Это доказывает, что если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны (обратное утверждение). Прямое доказательство: Пусть \( a ∥ b \). Рассмотрим секущую \( c \). Пусть \( ∠1 \) и \( ∠2 \) — накрест лежащие углы. Угол \( ∠3 \) — соответственный углу \( ∠1 \). Так как \( a ∥ b \), то \( ∠1 = ∠3 \). Угол \( ∠3 \) и \( ∠2 \) — вертикальные, значит \( ∠3 = ∠2 \). Следовательно, \( ∠1 = ∠2 \).
5. Решение задачи 3: В треугольнике \( ABC \) дан угол \( B = 40^\circ \). На рисунке показано, что угол при вершине \( A \) равен \( 110^\circ \). Сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \). Угол \( C = 180^\circ - 110^\circ - 40^\circ = 30^\circ \).
6. Решение задачи 4: В треугольнике \( ABC \): \( A = 40^\circ \), \( C = 60^\circ \). Угол \( B = 180^\circ - 40^\circ - 60^\circ = 80^\circ \). \( BD \) — биссектриса угла \( B \), поэтому \( ∠ABD = ∠DBC = 80^\circ / 2 = 40^\circ \). \( BH \) — высота, значит \( BHC = 90^\circ \). Рассмотрим прямоугольный треугольник \( BHC \). Угол \( HBC = ∠DBC = 40^\circ \). Угол \( BHС = 90^\circ \). Угол \( BCH = 180^\circ - 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ \). Этот расчет неверен, так как \( C = 60^\circ \). Пересчитаем: В треугольнике \( ABC \): \( A = 40^\circ \), \( C = 60^\circ \). Угол \( B = 180^\circ - 40^\circ - 60^\circ = 80^\circ \). \( BD \) — биссектриса, \( ∠ABD = ∠DBC = 80^\circ / 2 = 40^\circ \). \( BH \) — высота, \( BHC = 90^\circ \). В прямоугольном треугольнике \( BHC \): \( C = 60^\circ \), \( BHC = 90^\circ \). Угол \( HBC = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \). Теперь найдем угол между высотой \( BH \) и биссектрисой \( BD \): \( ∠HBD = ∠DBC - ∠HBC = 40^\circ - 30^\circ = 10^\circ \).

Ответ: Углы треугольника: ∠A = 110°, ∠B = 40°, ∠C = 30°. Угол между высотой ВН и биссектрисой BD равен 10°.