1. Определите неизвестные стороны прямоугольного треугольника, если один из острых углов равен 30°, а прилежащий к нему катет равен 38.

Решение:

Дан прямоугольный треугольник. Известно, что один из острых углов равен \( \alpha = 30° \), а прилежащий к нему катет \( b = 38 \). Нам нужно найти второй катет \( a \) и гипотенузу \( c \).

1. Найдём второй катет (противолежащий углу 30°):

Тангенс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

\[ \tan(\alpha) = \frac{a}{b} \]\[ \tan(30°) = \frac{a}{38} \]\[ a = 38 \cdot \tan(30°) \]\[ a = 38 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \]\[ a = \frac{38\sqrt{3}}{3} \]

2. Найдём гипотенузу:

Косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:

\[ \cos(\alpha) = \frac{b}{c} \]\[ \cos(30°) = \frac{38}{c} \]\[ c = \frac{38}{\cos(30°)} \]\[ c = \frac{38}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \]\[ c = \frac{38 \cdot 2}{\sqrt{3}} \]\[ c = \frac{76}{\sqrt{3}} \]\[ c = \frac{76\sqrt{3}}{3} \]

Ответ: Второй катет равен \( \frac{38\sqrt{3}}{3} \), гипотенуза равна \( \frac{76\sqrt{3}}{3} \).