1. Основание AB равнобедренного треугольника ABC равно 6 см. Медианы AA₁ и BB₁ пересекаются в точке O. Найти AA₁, если угол B₁OA равен 60°.

Обозначим высоту треугольника, проведённую к основанию AB, через h. В равнобедренном треугольнике она делит основание пополам, поэтому можно взять координаты A(−3; 0), B(3; 0), C(0; h).

Тогда B₁ — середина AC, а O — точка пересечения медиан, то есть центр тяжести:

\(B_1=(-1.5;h/2),\quad O=(0;h/3)\).

Векторы \(\overrightarrow{OB_1}=(-1.5;h/6)\) и \(\overrightarrow{OA}=(-3;-h/3)\). По формуле косинуса угла между векторами и условию \(\angle B_1OA=60^\circ\):

\(\dfrac{4.5-h^2/18}{\sqrt{(2.25+h^2/36)(9+h^2/9)}}=\dfrac12\).

После возведения в квадрат и выбора решения, при котором скалярное произведение положительно, получаем \(h^2=27\), значит, \(h=3\sqrt3\) см.

Медиана \(AA_1\) делит основание BC пополам. Горизонтальная разность координат A и A₁ равна 4.5 см, а вертикальная — \(h/2\). Поэтому:

\(AA_1=\sqrt{4.5^2+(h/2)^2}=\sqrt{20.25+6.75}=3\sqrt3\) см.

Ответ: \(3\sqrt3\) см.