1. Отрезок BD — диаметр окружности с центром O. Хорда AC делит пополам радиус OB и перпендикулярна к нему. Найдите углы четырёхугольника ABCD и градусные меры дуг AB, BC, CD, AD.

Пусть радиус окружности равен R. Так как хорда AC перпендикулярна радиусу OB и проходит через его середину, расстояние от центра O до хорды равно \(R/2\).

В прямоугольном треугольнике с гипотенузой R:

\(\cos \angle AOB=\frac{R/2}{R}=\frac12\), поэтому \(\angle AOB=60^\circ\).

Следовательно, дуги \(AB\) и \(BC\) имеют по \(60^\circ\), так как радиус, проведённый к середине хорды, делит соответствующую дугу пополам.

Так как BD — диаметр, дуги \(BAD\) и \(BCD\) равны по \(180^\circ\). Поэтому:

\(\overset{\frown}{CD}=180^\circ-\overset{\frown}{BC}=180^\circ-60^\circ=120^\circ\);

\(\overset{\frown}{AD}=180^\circ-\overset{\frown}{AB}=180^\circ-60^\circ=120^\circ\).

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается:

• \(\angle A=\frac12(\overset{\frown}{BCD})=\frac12(60^\circ+120^\circ)=90^\circ\);
• \(\angle B=\frac12(\overset{\frown}{CDA})=\frac12(120^\circ+120^\circ)=120^\circ\);
• \(\angle C=\frac12(\overset{\frown}{DAB})=\frac12(120^\circ+60^\circ)=90^\circ\);
• \(\angle D=\frac12(\overset{\frown}{ABC})=\frac12(60^\circ+60^\circ)=60^\circ\).

Ответ: \(\angle A=90^\circ\), \(\angle B=120^\circ\), \(\angle C=90^\circ\), \(\angle D=60^\circ\); дуги \(AB=60^\circ\), \(BC=60^\circ\), \(CD=120^\circ\), \(AD=120^\circ\).