1. Отрезок MP расположен в плоскости α. Точка K не лежит в ней. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков KM и KP, параллельна плоскости α.

Обозначим середины отрезков KM и KP буквами X и Y.

Рассмотрим треугольник KMP. По теореме о средней линии треугольника XY ∥ MP.

Отрезок MP лежит в плоскости α, а K не принадлежит α. Плоскость треугольника KMP пересекает α по прямой MP. Прямая XY параллельна MP и не совпадает с ней, поэтому не пересекает α.

Ответ: прямая XY параллельна плоскости α.