1. Отрезок MR расположен в плоскости α. Точка K не лежит в ней. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков MK и KR, параллельна плоскости α.

Рассмотрим треугольник MKR. Пусть P и Q — середины отрезков MK и KR соответственно.

1. По теореме о средней линии треугольника прямая PQ параллельна третьей стороне MR: PQ ∥ MR.
2. Так как MR лежит в плоскости α, прямая PQ параллельна прямой, лежащей в плоскости α.
3. Точка P не лежит в α: иначе вместе с M плоскость α содержала бы прямую MP, а значит, и точку K, что противоречит условию. Следовательно, PQ не лежит в α.

Значит, прямая PQ параллельна плоскости α.