1. Площадь прямоугольного треугольника равна 32√3. Один из острых углов равен 30°. Найдите длину гипотенузы.

Пусть катеты равны a и b, а гипотенуза c. Площадь S = (1/2)ab = 32√3. Один из острых углов равен 30°, значит, другой острый угол равен 60°.

Пусть угол напротив катета a равен 30°. Тогда a = c * sin(30°) = c/2, b = c * cos(30°) = c√3/2.

Подставляем в формулу площади: (1/2) * (c/2) * (c√3/2) = 32√3. Упрощаем: c²√3/8 = 32√3. Отсюда c² = 256, c = 16.