1. Плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды равен 90°. Площадь боковой поверхности пирамиды равна 3. Найти радиус окружности, описанной около боковой грани пирамиды.

В правильной треугольной пирамиде три равные боковые грани, поэтому площадь каждой равна \(3:3=1\).

Пусть боковое ребро равно \(l\). Боковая грань — равнобедренный треугольник с углом между равными сторонами \(90^\circ\), поэтому её площадь равна \(\frac{l^2}{2}\). Тогда \(\frac{l^2}{2}=1\), откуда \(l=\sqrt{2}\).

Основание этой грани лежит напротив прямого угла, значит, по теореме Пифагора оно равно \(\sqrt{l^2+l^2}=2\). Описанная окружность прямоугольного треугольника имеет радиус, равный половине гипотенузы: \(R=2:2=1\).

Ответ: 1.