3. Апофема правильной четырехугольной пирамиды равна 5. Тангенс двугранного угла при основании равен \(\frac{4}{3}\). Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Рассмотрим сечение плоскостью, проходящей через вершину пирамиды, центр основания и середину стороны основания. В этом прямоугольном треугольнике гипотенуза — апофема, равная 5; катеты — высота пирамиды \(h\) и апофема основания \(r\). Угол при основании сечения равен двугранному углу, поэтому \(\tan\varphi=\frac{h}{r}=\frac{4}{3}\).

Катеты относятся как \(h:r=4:3\). Так как гипотенуза равна 5, треугольник подобен треугольнику со сторонами 3, 4 и 5, следовательно, \(r=3\), \(h=4\).

Апофема основания квадрата равна половине его стороны, значит, сторона основания \(a=2r=6\). Площадь основания: \(S_{\text{осн}}=6^2=36\).

Периметр основания равен \(4\cdot6=24\). Площадь боковой поверхности: \(S_{\text{бок}}=\frac12\cdot24\cdot5=60\).

Полная площадь поверхности: \(S_{\text{полн}}=36+60=96\).

Ответ: 96.