1. Плоскость, проходящая через точки A, B и C, разбивает куб на два многогранника. Сколько рёбер у получившегося многогранника с большим числом вершин?

По рисунку плоскость пересекает ещё одно ребро куба, поэтому сечение — четырёхугольник. Его четыре вершины появляются в обоих получившихся многогранниках.

Вершины куба распределяются между частями так: одна часть сохраняет 2 исходные вершины, другая — 6. Значит, у частей будет соответственно 2 + 4 = 6 и 6 + 4 = 10 вершин.

У куба с каждой вершиной сходятся 3 ребра. После среза каждой вершины, которая принадлежит части, сходящиеся в ней рёбра заменяются рёбрами сечения; для части с 10 вершинами подсчёт рёбер можно выполнить по формуле Эйлера: V − E + F = 2. У этой части 6 исходных граней, усечённых плоскостью, и одна грань-сечение, то есть F = 7. Тогда E = V + F − 2 = 10 + 7 − 2 = 15.

Ответ: 15 рёбер.