1. Плоскости α и β пересекаются по прямой l. Прямые l и a пересекаются, а прямые l и b параллельны. Определите, могут ли прямые a и b: а) лежать в одной из плоскостей; б) лежать в разных плоскостях α и β; в) пересекать плоскости α и β. В случае утвердительного ответа укажите взаимное расположение прямых a и b.

а) Могут. Например, прямая a лежит в плоскости α и пересекает l, а прямая b совпадает с l. Тогда обе прямые лежат в α. Если считать параллельными только различные прямые, можно выбрать b в α параллельной l, а a — прямой α, пересекающей l.

б) Могут. Возьмём a в α так, чтобы она пересекала l, а b в β, параллельную l и не совпадающую с l. Эти прямые лежат в разных плоскостях и не пересекаются; они также не параллельны, поскольку направления a и l различны. Следовательно, a и b скрещиваются.

в) Не могут (если «пересекать плоскости» означает пересекать каждую из двух плоскостей в одной точке). Прямая a уже пересекает обе плоскости в точке a ∩ l. Если b пересекает α, то, будучи параллельной l ⊂ α, она должна лежать в α; тогда b также лежит в β, поскольку параллельна l ⊂ β. Значит, b должна совпасть с α ∩ β = l, что противоречит условию l ∥ b для различных прямых.