1. Пользуясь рисунком, где МВ и MD- наклонные к плоскости α, МС- перпендикуляр, ВС =5 см. CD=7 см, укажите верные неравенства: a) BC < CM; б) MC > MD; в) MC > MB; г) МВ < MD.

Решение:

Так как МС — перпендикуляр к плоскости, а МВ и MD — наклонные, то по теореме о трех перпендикулярах, если наклонные проведены из одной точки, то большая наклонная соответствует большему проекции.

Проекции наклонных MB и MD на плоскость α — это отрезки BC и CD соответственно.

Из рисунка видно, что BC = 5 см и CD = 7 см.

Сравнивая длины проекций: BC (5 см) < CD (7 см).

Следовательно, соответствующие наклонные также соотносятся: MB < MD.

Проверим предложенные варианты:

• a) BC < CM: Невозможно сравнить BC и CM без дополнительных данных.
• б) MC > MD: Неверно, так как MD — наклонная, а MC — перпендикуляр. Наклонная всегда больше перпендикуляра (если проекция ненулевая).
• в) MC > MB: Неверно, по той же причине, что и в пункте б).
• г) МВ < MD: Верно, так как проекция MB (BC=5) меньше проекции MD (CD=7).

Ответ: г) МВ < MD.