4. Стороны прямоугольника ABCD равны 7 см и 7√3 см. К плоскости прямоугольника через точку пересечения его диагоналей проведен перпендикуляр SO, равный 7 см. Найдите угол между прямой SA и плоскостью прямоугольника ABCD.

Решение:

Пусть ABCD — прямоугольник. Стороны \( AB = CD = 7 \sqrt{3} \) см, \( BC = AD = 7 \) см.

Точка O — точка пересечения диагоналей прямоугольника. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.

\( AC = BD \)

\( AO = OC = BO = OD = \frac{1}{2} AC \)

Найдем длину диагонали AC по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ABC:

\[ AC^2 = AB^2 + BC^2 \]

\[ AC^2 = (7\sqrt{3})^2 + 7^2 \]

\[ AC^2 = 49 \cdot 3 + 49 \]

\[ AC^2 = 147 + 49 \]

\[ AC^2 = 196 \]

\[ AC = \sqrt{196} = 14 \) см.

Тогда \( AO = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 14 = 7 \) см.

SO — перпендикуляр к плоскости прямоугольника ABCD, \( SO = 7 \) см.

Угол между прямой SA и плоскостью прямоугольника ABCD — это угол между прямой SA и ее проекцией AO на эту плоскость. То есть искомый угол — \( \angle SAO \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник SAO (угол SAO = 90°, так как SO — перпендикуляр).

Найдем тангенс угла \( \angle SAO \):

\[ \tan(\angle SAO) = \frac{SO}{AO} \]

\[ \tan(\angle SAO) = \frac{7}{7} = 1 \]

Угол, тангенс которого равен 1, равен 45°.

\[ \angle SAO = \arctan(1) = 45^{\circ} \]

Ответ: 45°.