5. На рисунке изображена развертка правильной четырехугольной пирамиды. Диагональ квадрата ABCD равна 4 см, высота треугольника ВРС, опущенная из вершины Р, равна 4√3 см. Найдите длину отрезка, соединяющего вершину данной пирамиды с центром основания.

Решение:

На рисунке изображена развертка правильной четырехугольной пирамиды. Основанием пирамиды является квадрат ABCD. Центр основания — точка пересечения диагоналей квадрата.

Диагональ квадрата ABCD равна 4 см. Пусть O — центр основания. Тогда \( AO = BO = CO = DO = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2 \) см.

Высота треугольника ВРС, опущенная из вершины Р, — это апофема пирамиды (обозначим ее \( h_{ap} \)), так как треугольник BPC является боковой гранью, и в правильной пирамиде все боковые грани — равные равнобедренные треугольники.

Дано, что апофема \( h_{ap} = 4\sqrt{3} \) см. Эта апофема проведена к стороне основания BC.

Пусть M — середина стороны BC. Тогда PM = \( h_{ap} = 4\sqrt{3} \) см.

Треугольник POM является прямоугольным, где PO — высота пирамиды (искомый отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания), OM — отрезок, соединяющий центр квадрата с серединой стороны BC, PM — апофема.

\( OM = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot \frac{AC}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \) см. (Так как сторона квадрата \( a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \) см).

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике POM:

\[ PM^2 = PO^2 + OM^2 \]

\[ (4\sqrt{3})^2 = PO^2 + (\sqrt{2})^2 \]

\[ 16 \cdot 3 = PO^2 + 2 \]

\[ 48 = PO^2 + 2 \]

\[ PO^2 = 48 - 2 \]

\[ PO^2 = 46 \]

\[ PO = \(\sqrt{46}\) \) см.

Ответ: \(\sqrt{46}\) см.