№ 1. Построить график функции \(y=\sqrt{x+3}-1\) и исследовать функцию.

Исследование функции

1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \(x+3\geq 0\), поэтому область определения — \([-3; +\infty)\).
2. Так как \(\sqrt{x+3}\geq 0\), значения функции удовлетворяют условию \(y\geq -1\). Область значений — \([-1; +\infty)\).
3. Функция непрерывна и строго возрастает на всей области определения: функция \(\sqrt{x}\) возрастает, а сдвиги графика этого свойства не меняют.
4. Нуль функции: \(\sqrt{x+3}-1=0\), откуда \(x=-2\). Пересечение с осью \(Oy\): при \(x=0\), \(y=\sqrt{3}-1\).
5. Функция ограничена снизу числом \(-1\), наименьшее значение достигается при \(x=-3\). Сверху не ограничена. Функция не является ни чётной, ни нечётной.

Для построения удобно взять точки: \((-3;-1), (-2;0), (1;1), (6;2), (13;3)\).

Ответ: область определения \([-3; +\infty)\), область значений \([-1; +\infty)\); функция непрерывна и возрастает, нуль — \(x=-2\), наименьшее значение — \(-1\).