№ 4. \(1+2x+\sqrt{7-6x}=0\).

Для существования корня необходимо \(7-6x\geq 0\), то есть \(x\leq \frac{7}{6}\). Кроме того, в исходном уравнении сумма \(1+2x\) и неотрицательного корня равна нулю, поэтому \(1+2x\leq 0\), то есть \(x\leq -\frac12\).

Перенесём остальные слагаемые: \(\sqrt{7-6x}=-1-2x\). Возводим в квадрат, учитывая указанное ограничение:

\(7-6x=(-1-2x)^2=1+4x+4x^2\).

Получаем \(4x^2+10x-6=0\), или \(2x^2+5x-3=0\). Корни: \(x=\frac12\) и \(x=-3\). Условию \(x\leq -\frac12\) соответствует только \(x=-3\). Проверка: \(1-6+\sqrt{7+18}=-5+5=0\).

Ответ: \(x=-3\).