1. Постройте график функции y = 4x - x². Найдите: а) наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [0; 3]; б) промежутки возрастания и убывания функции; в) решения неравенства 4x² - x² < 0.

Решение:

Функция \( y = 4x - x^2 \) — парабола, ветви которой направлены вниз.

а) Наименьшее и наибольшее значения на отрезке [0; 3]:

1. Найдем вершину параболы: \( x_в = \frac{-b}{2a} = \frac{-4}{2(-1)} = 2 \). \( y_в = 4(2) - 2^2 = 8 - 4 = 4 \). Вершина находится внутри отрезка [0; 3].
2. Вычислим значения функции на концах отрезка: \( y(0) = 4(0) - 0^2 = 0 \). \( y(3) = 4(3) - 3^2 = 12 - 9 = 3 \).
3. Сравним значения: \( y(0) = 0 \), \( y(3) = 3 \), \( y_в = 4 \).

Наименьшее значение функции на отрезке [0; 3] равно 0, наибольшее — 4.

б) Промежутки возрастания и убывания функции:

Вершина параболы находится в точке \( x=2 \). Поскольку ветви параболы направлены вниз, функция возрастает до вершины и убывает после нее.

• Промежуток возрастания: \( (-\infty; 2] \).
• Промежуток убывания: \( [2; +\infty) \).

На отрезке [0; 3]:

• Возрастает на \( [0; 2] \).
• Убывает на \( [2; 3] \).

в) Решение неравенства 4x² - x² < 0:

1. Упростим неравенство: \( 3x^2 < 0 \).
2. Поскольку \( x^2 \) всегда неотрицательно, \( 3x^2 \) может быть только больше или равно нулю.
3. Следовательно, неравенство \( 3x^2 < 0 \) не имеет решений.

Ответ: а) Наименьшее значение — 0, наибольшее — 4. б) Возрастает на [0; 2], убывает на [2; 3]. в) Решений нет.