1. Постройте график функции $y=\dfrac{(x-3)(x^2-x-2)}{x-2}$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Question

Вопрос: $Фото задания: 1. Постройте график функции $y=\dfrac{(x-3)(x^2-x-2)}{x-2}$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет…$ Фото задания

1. Постройте график функции $y=\dfrac{(x-3)(x^2-x-2)}{x-2}$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Accepted Answer

Разложим квадратный трёхчлен на множители: $x^2-x-2=(x-2)(x+1)$. Поэтому при $x\ne2$:

\[y=\frac{(x-3)(x-2)(x+1)}{x-2}=(x-3)(x+1)=x^2-2x-3=(x-1)^2-4.\]

График — парабола $y=(x-1)^2-4$ с выколотой точкой $(2;-3)$. Её наименьшее значение равно $-4$: горизонтальная прямая на этом уровне касается параболы в одной точке. При $m=-3$ обычная парабола пересекалась бы с прямой в двух точках, но точка $(2;-3)$ выколота, поэтому остаётся одно пересечение. При остальных уровнях пересечений либо нет, либо их два.

Ответ: $m=-4$ или $m=-3$.

1. Постройте график функции \(y=\dfrac{(x-3)(x^2-x-2)}{x-2}\) и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ: