2. Постройте график функции $y=\dfrac{(x^2-7x+12)(x^2+5x+6)}{x^2-9}$ и определите, при каких значениях параметра $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Question

Вопрос: $Фото задания: 2. Постройте график функции $y=\dfrac{(x^2-7x+12)(x^2+5x+6)}{x^2-9}$ и определите, при каких значениях параметра $m$…$ Фото задания

2. Постройте график функции $y=\dfrac{(x^2-7x+12)(x^2+5x+6)}{x^2-9}$ и определите, при каких значениях параметра $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Accepted Answer

Разложим числитель и знаменатель на множители:

\[y=\frac{(x-3)(x-4)(x+2)(x+3)}{(x-3)(x+3)}=(x-4)(x+2)=x^2-2x-8=(x-1)^2-9.\]

Область определения исходной функции: $x\ne-3$ и $x\ne3$. Поэтому на графике параболы $y=(x-1)^2-9$ выколоты точки $(-3;7)$ и $(3;-5)$. Вершина параболы — $(1;-9)$, и горизонтальная прямая на уровне $-9$ имеет с графиком одну общую точку.

При $m=-5$ и $m=7$ одно из двух пересечений параболы выколото, поэтому также остаётся по одной общей точке. На других уровнях ниже вершины пересечений нет, а выше вершины, кроме указанных уровней, пересечений два.

Ответ: $m=-9$, $m=-5$ или $m=7$.

2. Постройте график функции \(y=\dfrac{(x^2-7x+12)(x^2+5x+6)}{x^2-9}\) и определите, при каких значениях параметра \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ: