№ 1. Постройте график функции $y=x^2-4x-5$. Найдите с помощью графика: а) область определения и область значений функции; б) значение $y$, если $x=0{,}5$; в) значения $x$, при которых $y=3$; г) нули функции; промежутки, в которых $y<0$, и $y>0$; д) промежутки монотонности функции.

Question

Вопрос: $Фото задания: № 1. Постройте график функции $y=x^2-4x-5$. Найдите с помощью графика: а) область определения и область значений функции;…$ Фото задания

№ 1. Постройте график функции $y=x^2-4x-5$. Найдите с помощью графика: а) область определения и область значений функции; б) значение $y$, если $x=0{,}5$; в) значения $x$, при которых $y=3$; г) нули функции; промежутки, в которых $y<0$, и $y>0$; д) промежутки монотонности функции.

Accepted Answer

Приведём функцию к виду, удобному для построения:

$y=x^2-4x-5=(x-2)^2-9$. Поэтому вершина параболы — $(2;-9)$, ветви направлены вверх, ось симметрии — $x=2$.

Для построения можно использовать точки $(-1;0)$, $(0;-5)$, $(2;-9)$, $(4;-5)$, $(5;0)$. График:

Область определения: квадратный трёхчлен определён при любом действительном $x$, поэтому $D(y)=(-\infty; +\infty)$. Наименьшее значение достигается в вершине и равно $-9$, значит $E(y)=[-9; +\infty)$.
Подставим $x=0{,}5$: $y=0{,}5^2-4\cdot0{,}5-5=0{,}25-2-5=-6{,}75$.
При $y=3$: $x^2-4x-5=3$, то есть $x^2-4x-8=0$. Отсюда $x=\dfrac{4\pm\sqrt{16+32}}{2}=2\pm2\sqrt3$.
Нули функции: $x^2-4x-5=(x+1)(x-5)=0$, поэтому $x=-1$ и $x=5$. Поскольку парабола направлена вверх, $y<0$ при $x\in(-1;5)$, а $y>0$ при $x\in(-\infty;-1)\cup(5;+\infty)$.
До вершины функция убывает, после вершины возрастает: убывает на $(-\infty;2]$, возрастает на $[2;+\infty)$.

Ответ: а) $D(y)=\mathbb R$, $E(y)=[-9;+\infty)$; б) $y=-6{,}75$; в) $x=2\pm2\sqrt3$; г) нули: $-1$ и $5$, $y<0$ на $(-1;5)$, $y>0$ на $(-\infty;-1)\cup(5;+\infty)$; д) убывает на $(-\infty;2]$, возрастает на $[2;+\infty)$.