1. Постройте график функции $y=x^3-6x+5$. Найдите: а) значение $y$ при $x=0{,}5$; б) значения $x$, при которых $y=-1$; в) нули функции; промежутки, в которых $y<0$ и в которых $y>0$; г) промежуток, на котором функция возрастает.

Question

Вопрос: $Фото задания: 1. Постройте график функции $y=x^3-6x+5$. Найдите: а) значение $y$ при $x=0{,}5$; б) значения $x$, при которых…$ Фото задания

1. Постройте график функции $y=x^3-6x+5$. Найдите: а) значение $y$ при $x=0{,}5$; б) значения $x$, при которых $y=-1$; в) нули функции; промежутки, в которых $y<0$ и в которых $y>0$; г) промежуток, на котором функция возрастает.

Accepted Answer

Для построения отметим характерные точки графика. Производная равна $y'=3x^2-6$, поэтому критические точки: $x=\pm\sqrt{2}$. Функция возрастает при $x<-\sqrt{2}$ и $x>\sqrt{2}$, убывает при $-\sqrt{2}<x<\sqrt{2}$.

а) Подставим $x=0.5$: $y=0.5^3-6\cdot0.5+5=0.125-3+5=2.125=\frac{17}{8}$.

б) Решим уравнение: $x^3-6x+5=-1$, то есть $x^3-6x+6=0$. Его единственный действительный корень можно записать как $x=\sqrt[3]{-3+\sqrt{17}}+\sqrt[3]{-3-\sqrt{17}}\approx-3.096$.

в) Нули функции найдём разложением: $x^3-6x+5=(x-1)(x^2+x-5)$. Поэтому нули: $x=1$, $x=\frac{-1-\sqrt{21}}{2}$ и $x=\frac{-1+\sqrt{21}}{2}$. По смене знака на промежутках: $y<0$ при $x<\frac{-1-\sqrt{21}}{2}$ и $1<x<\frac{-1+\sqrt{21}}{2}$; $y>0$ при $\frac{-1-\sqrt{21}}{2}<x<1$ и $x>\frac{-1+\sqrt{21}}{2}$.

г) По знаку производной функция возрастает на $( -\infty,-\sqrt{2})$ и $(\sqrt{2},+\infty)$.

График — кубическая кривая, проходящая через найденные нули и точку $(0.5,2.125)$; локальный максимум находится при $x=-\sqrt{2}$, локальный минимум — при $x=\sqrt{2}$.

Ответ: а) $\frac{17}{8}$; б) $x\approx-3.096$; в) нули $\frac{-1-\sqrt{21}}{2}, 1, \frac{-1+\sqrt{21}}{2}$, знаки указаны выше; г) $( -\infty,-\sqrt{2})$ и $(\sqrt{2},+\infty)$.