№ 1. Постройте график функции y = x² − 4x − 5. Найдите с помощью графика: а) область определения и область значений функции; б) значение y, если x = 0,5; в) значения x, при которых y = 3; г) нули функции; промежутки, в которых y < 0 и y > 0; д) промежутки монотонности функции.

Преобразуем функцию, выделив полный квадрат: \(y=x^2-4x-5=(x-2)^2-9\). Значит, график — парабола с ветвями вверх и вершиной \((2;-9)\).

Для построения отметим вершину и, например, точки \((-1;0)\), \((5;0)\), \((0;-5)\), \((4;-5)\).

1. Область определения: квадратный трёхчлен определён при любом \(x\), поэтому \(D(y)=\mathbb{R}\). Наименьшее значение достигается в вершине и равно \(-9\), поэтому \(E(y)=[-9; +\infty)\).
2. При \(x=0,5\): \(y=0,5^2-4\cdot0,5-5=0,25-2-5=-6,75\).
3. При \(y=3\): \(x^2-4x-5=3\), то есть \(x^2-4x-8=0\). Отсюда \(x=\frac{4\pm\sqrt{16+32}}{2}=2\pm2\sqrt3\).
4. Нули функции: \(x^2-4x-5=(x+1)(x-5)=0\), поэтому \(x=-1\) и \(x=5\). Поскольку ветви параболы направлены вверх, \(y<0\) при \(x\in(-1;5)\), а \(y>0\) при \(x\in(-\infty;-1)\cup(5;+\infty)\).
5. Парабола убывает на \((-\infty;2]\) и возрастает на \([2;+\infty)\).

Ответ: D(y)=ℝ; E(y)=[−9;+∞); при x=0,5 значение y=−6,75; при y=3: x=2±2√3; нули −1 и 5; y<0 на (−1;5), y>0 на (−∞;−1)∪(5;+∞); функция убывает до x=2 и возрастает после x=2.