1. Постройте график функции y = x² - 6x + 5. Найдите: а) наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [1; 4]; б) промежутки возрастания и убывания функции; в) решения неравенства x² - 6x + 5 > 0.

Решение:

Дана функция \( y = x^2 - 6x + 5 \).

1. График функции: Это парабола, ветви направлены вверх. Найдем вершину параболы: \( x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3 \). \( y_в = 3^2 - 6 \cdot 3 + 5 = 9 - 18 + 5 = -4 \). Вершина в точке \( (3; -4) \).
2. а) Наименьшее и наибольшее значения на отрезке [1; 4]:
   Найдем значения функции на концах отрезка:
   При \( x = 1 \): \( y = 1^2 - 6 \cdot 1 + 5 = 1 - 6 + 5 = 0 \>.
   При \( x = 4 \): \( y = 4^2 - 6 \cdot 4 + 5 = 16 - 24 + 5 = -3 \>.
   Наименьшее значение функции на отрезке равно значению в вершине, так как \( x_в = 3 \) принадлежит отрезку [1; 4]. \( y_{наим} = -4 \>.
   Наибольшее значение функции на отрезке равно максимальному из значений на концах отрезка и в вершине. \( y_{наиб} = \max(0, -3, -4) = 0 \>.
3. б) Промежутки возрастания и убывания функции:
   Функция убывает при \( x < 3 \>.
   Функция возрастает при \( x > 3 \>.
   Промежуток убывания: \( (-\infty; 3] \>.
   Промежуток возрастания: \( [3; +\infty) \>.
4. в) Решения неравенства x² - 6x + 5 > 0:
   Найдем корни уравнения \( x^2 - 6x + 5 = 0 \>.
   \( D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16 \>.
   \( x_1 = \frac{6 - \sqrt{16}}{2} = \frac{6 - 4}{2} = 1 \>.
   \( x_2 = \frac{6 + \sqrt{16}}{2} = \frac{6 + 4}{2} = 5 \>.
   Так как парабола направлена вверх, неравенство \( x^2 - 6x + 5 > 0 \) выполняется при \( x < 1 \) или \( x > 5 \>.
   Решение: \( x \in \(-\infty; 1\) \(\cup\) \(5; +\infty\) \>.
   

Ответ: а) Наименьшее значение функции равно -4, наибольшее - 0. б) Функция убывает на промежутке (-∞; 3], возрастает на промежутке [3; +∞). в) x ∈ (-∞; 1) ∪ (5; +∞).