1. Постройте прямоугольный треугольник ABC, где угол C равен 90°, угол A равен 30°, а гипотенуза AB равна 8 см. Обозначьте катеты BC и AC. Найдите длину катета BC, противолежащего углу A. Используя теорему Пифагора, найдите длину катета AC, прилежащего к углу A.

Решение:

1. Построение треугольника:
Начертим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C (90°), углом A = 30° и гипотенузой AB = 8 см.

2. Нахождение катета BC:

Катет BC противолежит углу A. В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу в 30°, равен половине гипотенузы.

\( BC = \frac{1}{2} AB \)

\( BC = \frac{1}{2} \cdot 8 \text{ см} \)

\( BC = 4 \text{ см} \)

3. Нахождение катета AC:

Воспользуемся теоремой Пифагора: \( AB^2 = AC^2 + BC^2 \).

\( 8^2 = AC^2 + 4^2 \)

\( 64 = AC^2 + 16 \)

\( AC^2 = 64 - 16 \)

\( AC^2 = 48 \)

\( AC = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3} \text{ см} \)

Ответ: BC = 4 см, AC = 4\(\sqrt{3}\) см.