1. Постройте сечение куба ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через ребро CC₁ и точку пересечения диагоналей грани AA₁D₁D. Найдите периметр построенного сечения, если ребро куба равно 2 см.

Обозначим через M точку пересечения диагоналей грани AA₁D₁D. Тогда M — центр этой грани.

1. Плоскость сечения проходит через ребро CC₁ и точку M. На гранях ABCD и A₁B₁C₁D₁ её следы проходят соответственно через C и M, а через C₁ и точку M₁, где M₁ — середина A₁D₁.
2. Поскольку M — центр грани AA₁D₁D, отрезки сечения на нижней и верхней гранях заканчиваются в серединах AD и A₁D₁. Обозначим середину AD через N. Сечение — прямоугольник NCC₁M₁.
3. Высота прямоугольника равна ребру куба: 2 см. Его ширина равна диагонали прямоугольного треугольника с катетами 2 см и 1 см (половина ребра): \(\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt5\) см.
4. Периметр: \(P=2(2+\sqrt5)=4+2\sqrt5\) см.

Ответ: \(4+2\sqrt5\) см.