1. Представить функцию интегралом Фурье в показательной форме. Представить функцию интегралом Фурье в показательной форме.

Задание 1.

Представить функцию интегралом Фурье в показательной форме:

1. \( f(x) = \begin{cases} e^{-2x}, & x \ge 0 \\ 2e^{x}, & x < 0 \end{cases} \)

2. \( f(x) = \begin{cases} h, & 0 \le x \le \tau \\ 0, & \tau < x \end{cases} \)

Решение для 1:

Спектральная плотность \( F(\omega) \) вычисляется по формуле:

\[ F(\omega) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i\omega x} dx \]

Разделим интеграл на две части:

\[ F(\omega) = \frac{1}{2\pi} \left( \int_{-\infty}^{0} 2e^{x} e^{-i\omega x} dx + \int_{0}^{\infty} e^{-2x} e^{-i\omega x} dx \right) \]

\[ F(\omega) = \frac{1}{2\pi} \left( \int_{-\infty}^{0} 2e^{(1-i\omega)x} dx + \int_{0}^{\infty} e^{-(2+i\omega)x} dx \right) \]

Вычисляем интегралы:

\[ \int_{-\infty}^{0} 2e^{(1-i\omega)x} dx = \frac{2}{1-i\omega} \left[ e^{(1-i\omega)x} \right]_{-\infty}^{0} = \frac{2}{1-i\omega} (1 - 0) = \frac{2}{1-i\omega} \]

\[ \int_{0}^{\infty} e^{-(2+i\omega)x} dx = \frac{-1}{2+i\omega} \left[ e^{-(2+i\omega)x} \right]_{0}^{\infty} = \frac{-1}{2+i\omega} (0 - 1) = \frac{1}{2+i\omega} \]

Подставляем обратно в формулу для \( F(\omega) \):

\[ F(\omega) = \frac{1}{2\pi} \left( \frac{2}{1-i\omega} + \frac{1}{2+i\omega} \right) = \frac{1}{2\pi} \frac{2(2+i\omega) + (1-i\omega)}{(1-i\omega)(2+i\omega)} \]

\[ F(\omega) = \frac{1}{2\pi} \frac{4 + 2i\omega + 1 - i\omega}{2 + i\omega - 2i\omega - (i\omega)^2} = \frac{1}{2\pi} \frac{5 + i\omega}{2 - i\omega + \omega^2} \]

\[ F(\omega) = \frac{5 + i\omega}{2\pi (\omega^2 - i\omega + 2)} \]

Решение для 2:

Вычисляем \( F(\omega) \) для прямоугольного импульса:

\[ F(\omega) = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{\tau} h e^{-i\omega x} dx = \frac{h}{2\pi} \left[ \frac{e^{-i\omega x}}{-i\omega} \right]_{0}^{\tau} = \frac{h}{2\pi (-i\omega)} (e^{-i\omega \tau} - 1) \]

\[ F(\omega) = \frac{h}{2\pi \omega} i (1 - e^{-i\omega \tau}) = \frac{h}{2\pi \omega} i (1 - (\cos(-\omega \tau) + i\sin(-\omega \tau))) \]

\[ F(\omega) = \frac{h}{2\pi \omega} i (1 - \cos(\omega \tau) + i\sin(\omega \tau)) = \frac{h}{2\pi \omega} (i - i\cos(\omega \tau) - \sin(\omega \tau)) \]

\[ F(\omega) = \frac{h}{2\pi \omega} (-\sin(\omega \tau) + i(1 - \cos(\omega \tau))) \]

Ответ:

1. \( F(\omega) = \frac{5 + i\omega}{2\pi (\omega^2 - i\omega + 2)} \)

2. \( F(\omega) = \frac{h}{2\pi \omega} (-\sin(\omega \tau) + i(1 - \cos(\omega \tau))) \)