Построить амплитудный спектр функции. 7. f(x) = {h, |x| <= tau/2; 0, |x| > tau/2}

Задание 4.

Построить амплитудный спектр функции.

7. \( f(x) = \begin{cases} h, & |x| \le \frac{\tau}{2} \\ 0, & |x| > \frac{\tau}{2} \end{cases} \)

Решение:

Данная функция является чётной. Амплитудный спектр \( A(\omega) \) для чётной функции вычисляется как:

\[ A(\omega) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} a(\omega) \cos(\omega x) dx \]

Где \( a(\omega) = 2 \int_{0}^{\infty} f(x) \cos(\omega x) dx \). В нашем случае:

\[ a(\omega) = 2 \int_{0}^{\tau/2} h \cos(\omega x) dx \]

\[ a(\omega) = 2h \left[ \frac{\sin(\omega x)}{\omega} \right]_{0}^{\tau/2} = 2h \left( \frac{\sin(\omega \tau/2)}{\omega} - 0 \right) = \frac{2h\sin(\omega \tau/2)}{\omega} \]

Теперь подставим \( a(\omega) \) в формулу для \( A(\omega) \):

\[ A(\omega) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} \frac{2h\sin(\omega \tau/2)}{\omega} \cos(\omega x) d\omega \]

Это интегральное представление. Амплитудный спектр — это функция \( A(\omega) \) перед косинусом в этом представлении. Таким образом:

\[ A(\omega) = \frac{2h\sin(\omega \tau/2)}{\pi \omega} \]

Ответ:

7. Амплитудный спектр: \( A(\omega) = \frac{2h\sin(\omega \tau/2)}{\pi \omega} \)