1. Представьте число 8 в виде трёх положительных слагаемых так, чтобы сумма кубов двух первых слагаемых и третьего, умноженного на 9, была наименьшей, если известно, что первое слагаемое в 2 раза больше второго.

Обозначим первое слагаемое через x, второе — через y, третье — через z. Минимизируем выражение x³ + y³ + 9z при условиях x + y + z = 8 и x = 2y.

1. Из x = 2y получаем x + y = 3y, поэтому z = 8 − 3y. Положительность слагаемых требует 0 < y < 8/3.
2. Подставим выражения для x и z в минимизируемую сумму: F(y) = (2y)³ + y³ + 9(8 − 3y) = 9y³ − 27y + 72.
3. Находим производную: F′(y) = 27y² − 27. Условие F′(y) = 0 даёт y = 1 (корень y = −1 не подходит).
4. F″(y) = 54y, поэтому F″(1) = 54 > 0: при y = 1 достигается минимум. Тогда x = 2, z = 5.

Проверка: 2 + 1 + 5 = 8, а минимальная сумма равна 2³ + 1³ + 9·5 = 54.

Ответ: слагаемые 2, 1 и 5; минимальная сумма равна 54.