3. Исследуйте функцию f(x) = x⁴ − 2x² и постройте её график.

Найдём основные свойства функции f(x) = x⁴ − 2x².

1. Область определения — все действительные числа. Функция чётная, поскольку f(−x) = f(x); график симметричен относительно оси y.
2. Нули: x⁴ − 2x² = x²(x² − 2) = 0, поэтому x = 0 и x = ±√2.
3. Производная f′(x) = 4x³ − 4x = 4x(x² − 1). Критические точки: x = −1, 0, 1.
4. По знаку производной функция убывает на (−∞, −1) и (0, 1), возрастает на (−1, 0) и (1, +∞). Минимумы достигаются при x = ±1: f(±1) = −1; при x = 0 локальный максимум f(0) = 0.

Ответ: график имеет нули −√2, 0 и √2, симметричен относительно оси y и минимумы (−1, −1) и (1, −1).