1. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике. 2. Теорема об окружности, описанной около треугольника (формулировка и доказательство). 3. Найдите площадь прямоугольника, если одна из его сторон равна 5 см, а угол между диагоналями равен 60%.

Билет № 12.

1. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике:

• Высота, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые она делит гипотенузу.
• Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, прилежащим к этому катету.

2. Теорема об окружности, описанной около треугольника:

• Формулировка: Около любого треугольника можно описать окружность, и только одну. Центр этой окружности находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
• Доказательство: Рассмотрим треугольник ABC. Построим серединные перпендикуляры к сторонам AB и BC. Пусть они пересекаются в точке O. Так как O лежит на серединном перпендикуляре к AB, то OA = OB. Так как O лежит на серединном перпендикуляре к BC, то OB = OC. Следовательно, OA = OB = OC. Это означает, что точка O равноудалена от всех вершин треугольника, и, следовательно, является центром окружности, проходящей через вершины A, B и C.

3. Решение:

Пусть дан прямоугольник ABCD. Сторона AB = 5 см. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Угол между диагоналями, например, ∠AOB = 60°.

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам: AO = BO = CO = DO.

Рассмотрим треугольник AOB. Так как AO = BO, он является равнобедренным. Угол ∠AOB = 60°. Следовательно, углы при основании равны: ∠OAB = ∠OBA = (180° - 60°) / 2 = 120° / 2 = 60°.

Таким образом, треугольник AOB — равносторонний. Это означает, что AO = BO = AB = 5 см.

Так как диагонали прямоугольника равны, то AC = BD = 2 * AO = 2 * 5 = 10 см.

Пусть другая сторона прямоугольника равна BC (которая равна AD).

В прямоугольном треугольнике ABD по теореме Пифагора:

\[ AB^2 + AD^2 = BD^2 \]

\[ 5^2 + AD^2 = 10^2 \]

\[ 25 + AD^2 = 100 \]

\[ AD^2 = 100 - 25 = 75 \]

\[ AD = \sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3} \text{ см} \]

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:

\[ S = AB \times AD = 5 \times 5\sqrt{3} = 25\sqrt{3} \text{ см}^2 \]

Ответ: Площадь прямоугольника равна 25√3 см².