1. Центральный угол. Вписанный угол. 2. Площадь трапеции (формулировка и доказательство). 3. Найдите площадь равнобедренного треугольника, если его основание равно 10см, а боковая сторона равна 13см.

Билет № 15.

1. Центральный угол. Вписанный угол:

• Центральный угол — это угол, вершина которого совпадает с центром окружности.
• Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность в двух точках.

Связь между центральным и вписанным углом: Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и вписанный угол, в два раза больше вписанного угла.

2. Площадь трапеции:

• Формулировка: Площадь трапеции равна половине произведения суммы оснований на высоту.
• Доказательство: Пусть дана трапеция ABCD с основаниями AB и CD и высотой h. Проведем диагональ AC. Трапеция разобьется на два треугольника: ABC и ADC. Площадь треугольника ABC равна $$\frac{1}{2} \times AB \times h$$. Площадь треугольника ADC равна $$\frac{1}{2} \times CD \times h$$. Суммируя площади этих треугольников, получим площадь трапеции: $$S = \frac{1}{2} \times AB \times h + \frac{1}{2} \times CD \times h = \frac{1}{2} \times (AB + CD) \times h$$.

3. Решение:

Дан равнобедренный треугольник ABC, где основание AC = 10 см, а боковые стороны AB = BC = 13 см.

Чтобы найти площадь треугольника, нам нужна его высота. Проведем высоту BH из вершины B к основанию AC. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Следовательно, она делит основание пополам:

\[ AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{10}{2} = 5 \text{ см} \]

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. По теореме Пифагора:

\[ AB^2 = AH^2 + BH^2 \]

\[ 13^2 = 5^2 + BH^2 \]

\[ 169 = 25 + BH^2 \]

\[ BH^2 = 169 - 25 = 144 \]

\[ BH = \sqrt{144} = 12 \text{ см} \]

Теперь мы можем найти площадь треугольника:

\[ S = \frac{1}{2} \times AC \times BH = \frac{1}{2} \times 10 \times 12 = 5 \times 12 = 60 \text{ см}^2 \]

Ответ: Площадь равнобедренного треугольника равна 60 см².