1. Прямые a и b пересекаются. Прямые a и c параллельны. Могут ли прямые b и c быть скрещивающимися?

Да, могут.

1. Пересекающиеся прямые a и b задают плоскость α.
2. Проведём прямую c параллельно a вне плоскости α. Тогда c не пересекает плоскость α, а значит, не пересекает b.
3. Прямые b и c не лежат в одной плоскости: иначе плоскость, содержащая b и c, содержала бы и прямую a (через точку пересечения a и b проходит единственная прямая, параллельная c, то есть a). Это противоречит тому, что c находится вне α.

Ответ: да, b и c могут быть скрещивающимися.