1. Пусть х, и х₂ корни уравнения х²+2x-11=0. Запишите квадратное уравнение, корнями которого были бы числа 1/х, и 1/х₂.

Решение:

Для уравнения \( x^2 + 2x - 11 = 0 \) по теореме Виета:

• Сумма корней: \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{2}{1} = -2 \)
• Произведение корней: \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-11}{1} = -11 \)

Пусть новые корни \( y_1 = \frac{1}{x_1} \) и \( y_2 = \frac{1}{x_2} \).

Найдем сумму новых корней:

\[ y_1 + y_2 = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2 + x_1}{x_1 x_2} = \frac{-2}{-11} = \frac{2}{11} \]

Найдем произведение новых корней:

\[ y_1 \cdot y_2 = \frac{1}{x_1} \cdot \frac{1}{x_2} = \frac{1}{x_1 x_2} = \frac{1}{-11} = -\frac{1}{11} \]

Квадратное уравнение с корнями \( y_1 \) и \( y_2 \) имеет вид \( y^2 - (y_1 + y_2)y + y_1 y_2 = 0 \).

Подставим найденные значения:

\[ y^2 - \frac{2}{11}y - \frac{1}{11} = 0 \]

Умножим все члены уравнения на 11, чтобы избавиться от дробей:

\[ 11y^2 - 2y - 1 = 0 \]

Ответ: Квадратное уравнение:

\[ 11y^2 - 2y - 1 = 0 \]