31. Решите уравнение: (2 х − 1)² = - 2 х + 1 и найдите сумму корней.

Решение:

Раскроем скобки в левой части уравнения:

\[ (2x - 1)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 = 4x^2 - 4x + 1 \]

Теперь приравняем это к правой части уравнения:

\[ 4x^2 - 4x + 1 = -2x + 1 \]

Перенесём все члены в левую часть:

\[ 4x^2 - 4x + 1 + 2x - 1 = 0 \]

Приведём подобные члены:

\[ 4x^2 - 2x = 0 \]

Вынесем общий множитель \( 2x \) за скобки:

\[ 2x(2x - 1) = 0 \]

Это уравнение имеет два корня:

1) \( 2x = 0 \) \(\Rightarrow\) \( x_1 = 0 \)

2) \( 2x - 1 = 0 \) \(\Rightarrow\) \( 2x = 1 \) \(\Rightarrow\) \( x_2 = \frac{1}{2} \)

Найдем сумму корней:

\( x_1 + x_2 = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \)

Ответ: Корни уравнения: 0 и 1/2. Сумма корней: 1/2.