1. Пусть X — множество жителей Нижнего Новгорода и ρ — бинарное отношение на X. Выяснить его свойства. а) xρy ⇔ x знает y; б) xρy ⇔ x родственник y; в) xρy ⇔ x начальник y; г) xρy ⇔ зарплата x не меньше зарплаты y.

Свойства зависят от точного смысла слов «знает», «родственник» и «начальник». Ниже указаны обычные трактовки; для реальных людей возможны исключения из-за неоднозначности этих понятий.

1. «x знает y». Как правило, отношение не рефлексивно: не принято считать, что каждый обязательно знает самого себя. Оно обычно симметрично, если «знает» означает «знаком с»: знакомство взаимно. Транзитивность не выполняется: знакомство x с y и y с z не гарантирует знакомства x с z. Антисимметричности тоже нет: разные люди могут знать друг друга.
2. «x родственник y». Если считать каждого родственником самого себя и понимать родство как наличие общего предка, отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно, то есть является отношением эквивалентности. Если слово означает только «другой родственник», рефлексивность не выполняется. При более широком бытовом понимании, включающем свойство через брак, транзитивность может не выполняться.
3. «x начальник y». Если имеется в виду непосредственный начальник, отношение иррефлексивно и несимметрично; обычно оно не транзитивно, поскольку начальник начальника не обязательно является непосредственным начальником. Если «начальник» означает начальника в цепочке подчинения, отношение транзитивно.
4. «зарплата x не меньше зарплаты y». Отношение рефлексивно и транзитивно, но не симметрично. На множестве людей оно не антисимметрично: у разных людей могут быть одинаковые зарплаты. Оно связно (для любой пары зарплаты сравнимы), если зарплаты выражены в одной валюте и за один и тот же период.