3. На ℕ задано бинарное отношение ρ. Определить тип отношения. Найти область определения, область значений, отношение ρ⁻¹. а) ρ = {(x, y) ∈ ℕ² | x | y}; б) ρ = {(x, y) ∈ ℕ² | (x − y) : 3}.

Считаем, что \(\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}\), а в пункте б) запись \((x-y):3\) означает, что разность x−y делится на 3.

а) Условие \(x\mid y\) означает, что y делится на x. Каждое натуральное x делит себя, значит область определения равна \(\mathbb{N}\). Каждое натуральное y делится на 1, значит область значений также \(\mathbb{N}\). Отношение рефлексивно: \(x\mid x\); антисимметрично: если \(x\mid y\) и \(y\mid x\), то x=y; транзитивно: из \(x\mid y\) и \(y\mid z\) следует \(x\mid z\). Симметричным оно не является, например, \(2\mid4\), но \(4\nmid2\).

Обратное отношение меняет порядок элементов пары: \(\rho^{-1}=\{(x,y)\in\mathbb{N}^2\mid y\mid x\}\).

б) Разность x−y делится на 3 тогда и только тогда, когда x и y имеют одинаковый остаток при делении на 3. Поэтому область определения и область значений — \(\mathbb{N}\). Отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно, то есть является отношением эквивалентности. Обратное отношение совпадает с исходным: \(\rho^{-1}=\rho=\{(x,y)\in\mathbb{N}^2\mid 3\mid(x-y)\}\).

Классы эквивалентности: натуральные числа, дающие остатки 0, 1 и 2 при делении на 3.