1. Радиус цилиндра равен 10 см. Сечение, параллельное оси цилиндра и удаленное от нее на 8 см, имеет форму квадрата. Найти площадь сечения.

Дано:

• Радиус цилиндра: R = 10 см.
• Расстояние от оси до сечения: d = 8 см.
• Форма сечения: квадрат.

Решение:

1. Определение стороны квадрата:

   В сечении, параллельном оси цилиндра, образуется прямоугольник. Поскольку сечение удалено от оси на d = 8 см, а радиус цилиндра R = 10 см, то половина стороны этого прямоугольника, лежащая в основании цилиндра, равна:

   \[ \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6 \text{ см} \]

   Таким образом, одна сторона прямоугольника (равная хорде основания) равна:

   \[ 2 \times 6 = 12 \text{ см} \]

   По условию, сечение имеет форму квадрата. Это означает, что высота квадрата (которая равна высоте цилиндра) также равна 12 см.

2. Площадь сечения:

   Площадь квадрата со стороной 12 см равна:

   \[ S = a^2 = 12^2 = 144 \text{ см}^2 \]

Ответ: 144 см²