2. Высота конуса равна 4√3 см, а угол при вершине осевого сечения равен 120°. Найдите площадь основания конуса.

Дано:

• Высота конуса: h = 4√3 см.
• Угол при вершине осевого сечения: α = 120°.

Найти: Площадь основания конуса S_осн.

Решение:

1. Осевое сечение конуса:

   Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник. Угол при вершине этого треугольника равен 120°, а высота, проведенная из вершины к основанию, равна высоте конуса h = 4√3 см.

2. Нахождение радиуса основания:

   Высота конуса делит угол при вершине осевого сечения пополам. Поэтому угол между образующей и высотой равен $$\alpha / 2 = 120° / 2 = 60°$$.

   В прямоугольном треугольнике, образованном высотой конуса (h), радиусом основания (r) и образующей (l), угол при вершине равен 60°. Радиус основания r является катетом, противолежащим этому углу.

   \[ \text{tg}(60°) = \frac{r}{h} \]
   \[ r = h \cdot \text{tg}(60°) \]
   \[ r = 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 4 \times 3 = 12 \text{ см} \]
3. Площадь основания конуса:

   Основание конуса — это круг. Площадь круга вычисляется по формуле:

   \[ S_{\text{осн}} = \pi r^2 \]
   \[ S_{\text{осн}} = \pi (12)^2 = 144\pi \text{ см}^2 \]

Ответ: 144π см²