1. Разложите на множители: a) a²b⁴ – 9c²; б) (m - 1)² - 121. b) 27n³ - 64m³. г) 16k² + 40kn + 25n²; g) k²n² - 2kn + 1. e) x³y + 8y; ж) (y² - 1)² - 9.

Задание 1: Разложение на множители

Разложим каждый пример на множители, используя формулы сокращенного умножения и вынесение общего множителя за скобки.

1. а)

   Используем формулу разности квадратов: a² - b² = (a - b)(a + b).

   a²b⁴ - 9c² = (ab²)² - (3c)² = (ab² - 3c)(ab² + 3c)

2. б)

   Это также разность квадратов, где a = (m - 1) и b = 11.

   (m - 1)² - 121 = (m - 1)² - 11² = ((m - 1) - 11)((m - 1) + 11) = (m - 12)(m + 10)

3. в)

   Используем формулу разности кубов: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²).

   27n³ - 64m³ = (3n)³ - (4m)³ = (3n - 4m)((3n)² + (3n)(4m) + (4m)²) = (3n - 4m)(9n² + 12nm + 16m²)

4. г)

   Это квадрат суммы: (a + b)² = a² + 2ab + b².

   16k² + 40kn + 25n² = (4k)² + 2(4k)(5n) + (5n)² = (4k + 5n)²

5. д)

   Это квадрат разности: (a - b)² = a² - 2ab + b².

   k²n² - 2kn + 1 = (kn)² - 2(kn)(1) + 1² = (kn - 1)²

6. е)

   Вынесем общий множитель x.

   x³y + 8y = y(x³ + 8)

   Теперь используем формулу суммы кубов: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²).

   y(x³ + 8) = y(x³ + 2³) = y(x + 2)(x² - 2x + 4)

7. ж)

   Это также разность квадратов, где a = (y² - 1)² и b = 3.

   (y² - 1)² - 9 = (y² - 1)² - 3² = ((y² - 1) - 3)((y² - 1) + 3) = (y² - 4)(y² + 2)

   (y² - 4) можно разложить дальше как разность квадратов: (y - 2)(y + 2).

   Итого: (y - 2)(y + 2)(y² + 2)