1. Разложите на множители: a) a²b⁴ – 9c²; б) (m - 1)² - 121. b) 27n³ - 64m³. г) 16k² + 40kn + 25n²; g) k²n² - 2kn + 1.\(\ne\)) x³y + 8y; ж) (y² - 1)² - 9.

Разложение многочленов на множители

a) a²b⁴ – 9c²

Это разность квадратов: \[ (ab^2)^2 - (3c)^2 \]

Применяем формулу разности квадратов: \[ (ab^2 - 3c)(ab^2 + 3c) \]

б) (m - 1)² - 121

Это также разность квадратов, где первое слагаемое \[ (m-1)^2 \] и второе \[ 11^2 \].

Применяем формулу: \[ ((m-1) - 11)((m-1) + 11) \]

Упрощаем: \[ (m - 12)(m + 10) \]

в) 27n³ - 64m³

Это разность кубов: \[ (3n)^3 - (4m)^3 \]

Применяем формулу разности кубов \[ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \]:

\[ (3n - 4m)((3n)^2 + (3n)(4m) + (4m)^2) \]

\[ (3n - 4m)(9n^2 + 12nm + 16m^2) \]

г) 16k² + 40kn + 25n²

Это квадрат суммы: \[ (4k)^2 + 2(4k)(5n) + (5n)^2 \]

Применяем формулу квадрата суммы \[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]:

\[ (4k + 5n)^2 \]

д) k²n² - 2kn + 1

Это квадрат разности: \[ (kn)^2 - 2(kn)(1) + 1^2 \]

Применяем формулу квадрата разности \[ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \]:

\[ (kn - 1)^2 \]

е) x³y + 8y

Выносим общий множитель \[ y \]:

\[ y(x^3 + 8) \]

Теперь у нас сумма кубов \[ x^3 + 2^3 \]. Применяем формулу суммы кубов \[ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \]:

\[ y(x + 2)(x^2 - 2x + 4) \]

ж) (y² - 1)² - 9

Это разность квадратов, где \[ a = (y^2 - 1) \] и \[ b = 3 \].

Применяем формулу разности квадратов: \[ ((y^2 - 1) - 3)((y^2 - 1) + 3) \]

Упрощаем: \[ (y^2 - 4)(y^2 + 2) \]

Первый множитель \[ y^2 - 4 \] — это также разность квадратов \[ y^2 - 2^2 \], которая раскладывается на \[ (y - 2)(y + 2) \].

Окончательный результат: \[ (y - 2)(y + 2)(y^2 + 2) \]