3. Разложите многочлен c² + 6с - 40 на множители, выделив полный квадрат двучлена.

Разложение многочлена с выделением полного квадрата

Многочлен: \[ c^2 + 6c - 40 \]

INSIGHT: Чтобы разложить данный квадратный трехчлен на множители, мы выделим полный квадрат двучлена. Это позволит представить его в виде разности квадратов или использовать для дальнейшего упрощения.

1. Шаг 1: Выделение полного квадрата

Возьмем первые два члена: \[ c^2 + 6c \]. Чтобы получить полный квадрат, нам нужно добавить \[ (6/2)^2 = 3^2 = 9 \].

Перепишем многочлен, добавив и вычтя 9:

\[ (c^2 + 6c + 9) - 9 - 40 \]

2. Шаг 2: Формирование полного квадрата

Первые три члена \[ c^2 + 6c + 9 \] образуют полный квадрат двучлена \[ (c + 3)^2 \].

Теперь многочлен выглядит так:

\[ (c + 3)^2 - 49 \]

3. Шаг 3: Разложение на множители

Мы получили разность квадратов, где \[ a = (c + 3) \] и \[ b = 7 \] (так как \[ 7^2 = 49 \]).

Применяем формулу разности квадратов \[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \]:

\[ ((c + 3) - 7)((c + 3) + 7) \]

4. Шаг 4: Упрощение

Раскроем скобки и упростим:

\[ (c + 3 - 7)(c + 3 + 7) \]

\[ (c - 4)(c + 10) \]

Ответ: Многочлен раскладывается на множители как (c - 4)(c + 10).