1. Разложите на множители квадратный трёхчлен: 1) x² + 3x - 40; 2) 6x² + x - 12.

Задание 1. Разложение на множители

1) Разложим квадратный трёхчлен \( x^2 + 3x - 40 \)

• Нам нужно найти два числа, произведение которых равно -40, а сумма равна 3.
• Эти числа: 8 и -5. (8 * -5 = -40; 8 + (-5) = 3)
• Значит, \( x^2 + 3x - 40 = (x + 8)(x - 5) \).

2) Разложим квадратный трёхчлен \( 6x^2 + x - 12 \)

• Сначала найдём дискриминант по формуле: \( D = b^2 - 4ac \).
• В нашем случае \( a = 6 \), \( b = 1 \), \( c = -12 \).
• \( D = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-12) = 1 + 288 = 289 \).
• \( \sqrt{D} = \sqrt{289} = 17 \).
• Теперь найдём корни по формуле: \( x_{1,2} = \frac{-b \pm\sqrt{D}}{2a} \).
• \( x_1 = \frac{-1 + 17}{2 \cdot 6} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3} \).
• \( x_2 = \frac{-1 - 17}{2 \cdot 6} = \frac{-18}{12} = -\frac{3}{2} \).
• Для разложения на множители используем формулу \( ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) \).
• \( 6x^2 + x - 12 = 6(x - \frac{4}{3})(x - (-\frac{3}{2})) = 6(x - \frac{4}{3})(x + \frac{3}{2}) \).
• Можно внести множитель 6: \( 6 = 2 \cdot 3 \).
• \( (2(x - \frac{4}{3})) \cdot (3(x + \frac{3}{2})) = (2x - \frac{8}{3})(3x + \frac{9}{2}) \) — это не самый простой вид.
• Давай упростим: \( 6(x - \frac{4}{3})(x + \frac{3}{2}) = 3(x - \frac{4}{3}) \cdot 2(x + \frac{3}{2}) = (3x - 4)(2x + 3) \).

Ответ: 1) \( (x + 8)(x - 5) \); 2) \( (3x - 4)(2x + 3) \).