5. Моторная лодка прошла 48 км по течению реки и 70 км против течения, затратив на путь по течению на 1 ч меньше, чем на путь против течения. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки составляет 2 км/ч.

Задание 5. Задача на движение по воде

Условие: Лодка прошла 48 км по течению и 70 км против течения. Время по течению на 1 час меньше, чем против. Скорость течения 2 км/ч. Найти собственную скорость лодки.

Решение:

1. Обозначим неизвестные:
• Пусть \( v \) — собственная скорость лодки (км/ч).
• Скорость лодки по течению: \( v_{тек} = v + 2 \) (км/ч).
• Скорость лодки против течения: \( v_{против} = v - 2 \) (км/ч).
2. Выразим время движения:
• Время по течению: \( t_{тек} = \frac{S_{тек}}{v_{тек}} = \frac{48}{v + 2} \) (ч).
• Время против течения: \( t_{против} = \frac{S_{против}}{v_{против}} = \frac{70}{v - 2} \) (ч).
3. Составим уравнение по условию: \( t_{против} - t_{тек} = 1 \) (время против течения на 1 час больше).
• \( \frac{70}{v - 2} - \frac{48}{v + 2} = 1 \).
4. Решим уравнение:
• Приведём к общему знаменателю \( (v - 2)(v + 2) \). ОДЗ: \( v ± 2 \).
• \( \frac{70(v + 2) - 48(v - 2)}{(v - 2)(v + 2)} = 1 \).
• \( 70v + 140 - 48v + 96 = v^2 - 4 \).
• \( 22v + 236 = v^2 - 4 \).
• \( v^2 - 22v - 240 = 0 \).
5. Решим квадратное уравнение.
• Дискриминант \( D = (-22)^2 - 4 · 1 · (-240) = 484 + 960 = 1444 \).
• \( \sqrt{D} = \sqrt{1444} = 38 \).
• Корни:
• \( v_1 = \frac{22 + 38}{2 · 1} = \frac{60}{2} = 30 \).
• \( v_2 = \frac{22 - 38}{2 · 1} = \frac{-16}{2} = -8 \).
• Так как скорость не может быть отрицательной, \( v = 30 \) км/ч.

Ответ: собственная скорость лодки составляет 30 км/ч.