6. Постройте график функции y = x² - 3x - 4 / x + 1.

Задание 6. Построение графика функции

Условие: Построить график функции \( y = \frac{x^2 - 3x - 4}{x + 1} \)

Решение:

1. Разложим числитель на множители:
• Найдем корни уравнения \( x^2 - 3x - 4 = 0 \).
• \( D = (-3)^2 - 4 · 1 · (-4) = 9 + 16 = 25 \).
• \( \sqrt{D} = 5 \).
• Корни:
• \( x_1 = \frac{3 + 5}{2} = 4 \).
• \( x_2 = \frac{3 - 5}{2} = -1 \).
• Числитель раскладывается как \( (x - 4)(x - (-1)) = (x - 4)(x + 1) \).
2. Упростим функцию:
• \( y = \frac{(x - 4)(x + 1)}{x + 1} \).
• При \( x ± -1 \), мы можем сократить \( (x + 1) \).
• Получаем \( y = x - 4 \).
3. Построение графика:
• График функции \( y = x - 4 \) — это прямая линия.
• Однако, из-за сокращения \( (x + 1) \), при \( x = -1 \) функция не определена. Это означает, что на графике будет выколотая точка.
• Найдем координаты выколотой точки:
• При \( x = -1 \), \( y = -1 - 4 = -5 \).
• Выколотая точка имеет координаты: \( (-1, -5) \).
• Чтобы построить прямую, найдем еще одну точку. Например, если \( x = 0 \), то \( y = -4 \).
• Точка: \( (0, -4) \).
4. Построим график:
• Отметим точки \( (-1, -5) \) (выколотая) и \( (0, -4) \).
• Проведем через них прямую.

Ответ: График функции представляет собой прямую \( y = x - 4 \) с выколотой точкой в \( (-1, -5) \).