1) Ребро правильного тетраэдра DABC равно a. Постройте сечение тетраэдра, проходящее через середины рёбер DA и AB параллельно ребру BC, и найдите площадь этого сечения.

Обозначим M и N середины DA и AB. Через N в грани ABC проведём прямую, параллельную BC; она пересечёт AC в его середине P. Значит, NP — средняя линия грани ABC. В грани DAB отрезок MN также является средней линией, поэтому MN ∥ DB. Отрезок MP — средняя линия грани DAC, поэтому MP ∥ DC. Сечение — треугольник MNP.

Каждая его сторона равна половине соответствующего ребра тетраэдра: MN = NP = MP = a/2. Следовательно, сечение — равносторонний треугольник.

Его площадь: \(S=\frac{\sqrt{3}}{4}\left(\frac{a}{2}\right)^2=\frac{\sqrt{3}a^2}{16}\).

Ответ: сечение — равносторонний треугольник MNP; его площадь равна \(\frac{\sqrt{3}a^2}{16}\).